1.1 Algebraic Fractions - 代数分式

知识点总结与练习题

核心知识点

1. 代数分式的定义

核心概念 (Core Concept)：代数分式是形如 \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) 的表达式，其中 \(P(x)\) 和 \(Q(x)\) 都是多项式，且 \(Q(x) \neq 0\)。

  • 分子和分母都是多项式
  • 分母不能为零
  • 需要确定分式的定义域

公式 (Formula)：\(\frac{P(x)}{Q(x)}\) 其中 \(Q(x) \neq 0\)

2. 分式化简的基本方法

定义 (Definition)：通过因式分解和约分，将复杂的分式化简为最简形式。

  • 对分子和分母进行因式分解
  • 识别并约去公因式
  • 写出最简形式

应用场景 (Application)：适用于各种类型的代数分式化简问题。

3. 因式分解方法回顾

核心方法 (Core Methods)：

  • 提取公因式：\(ax + ay = a(x + y)\)
  • 平方差公式：\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)
  • 完全平方公式：\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\)
  • 二次三项式分解：\(x^2 + (p+q)x + pq = (x+p)(x+q)\)

关键词汇表

代数分式 Algebraic Fraction
因式分解 Factorization
公因式 Common Factor
约分 Cancellation
最简形式 Simplest Form
定义域 Domain

例题解析

Example 1: 简单分式化简

题目：化简 \(\frac{7x^4 - 2x^3 + 6x}{x}\)

解答

解题步骤说明：

  • 步骤1：\(\frac{7x^4 - 2x^3 + 6x}{x} = \frac{7x^4}{x} - \frac{2x^3}{x} + \frac{6x}{x}\)
  • 步骤2：\(= 7x^3 - 2x^2 + 6\)
  • 结论：将分子中的每一项分别除以分母 \(x\)

Example 2: 含公因式的分式化简

题目：化简 \(\frac{x^2 + 6x + 5}{x^2 + 3x - 10}\)

解答

解题步骤说明：

  • 步骤1：\(\frac{x^2 + 6x + 5}{x^2 + 3x - 10} = \frac{(x + 5)(x + 1)}{(x + 5)(x - 2)}\)
  • 步骤2：\(= \frac{x + 1}{x - 2}\)
  • 最终答案：约去公因式 \((x + 5)\)

Question 1

化简以下分式：

a) \(\frac{4x^4 + 5x^2 - 7x}{x}\)

b) \(\frac{7x^5 - 5x^5 + 9x^3 + x^2}{x}\)

c) \(\frac{-x^4 + 4x^2 + 6}{x}\)

答题区域：

Question 2

化简以下分式：

a) \(\frac{(x + 3)(x - 2)}{(x - 2)}\)

b) \(\frac{(x + 4)(3x - 1)}{(3x - 1)}\)

c) \(\frac{(x + 3)^2}{(x + 3)}\)

答题区域：

Question 3

化简以下分式：

a) \(\frac{x^2 + 10x + 21}{(x + 3)}\)

b) \(\frac{x^2 + 9x + 20}{(x + 4)}\)

c) \(\frac{x^2 + x - 12}{(x - 3)}\)

答题区域：

Question 4

化简以下分式：

a) \(\frac{x^2 + x - 20}{x^2 + 2x - 15}\)

b) \(\frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 + 5x + 4}\)

c) \(\frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 9x + 18}\)

答题区域：

答案与解析

Question 1 解析

a) \(\frac{4x^4 + 5x^2 - 7x}{x} = 4x^3 + 5x - 7\)

b) \(\frac{7x^5 - 5x^5 + 9x^3 + x^2}{x} = \frac{2x^5 + 9x^3 + x^2}{x} = 2x^4 + 9x^2 + x\)

c) \(\frac{-x^4 + 4x^2 + 6}{x} = -x^3 + 4x + \frac{6}{x}\)

答案：a) \(4x^3 + 5x - 7\)；b) \(2x^4 + 9x^2 + x\)；c) \(-x^3 + 4x + \frac{6}{x}\)
Question 2 解析

a) \(\frac{(x + 3)(x - 2)}{(x - 2)} = x + 3\)

b) \(\frac{(x + 4)(3x - 1)}{(3x - 1)} = x + 4\)

c) \(\frac{(x + 3)^2}{(x + 3)} = x + 3\)

答案：a) \(x + 3\)；b) \(x + 4\)；c) \(x + 3\)
Question 3 解析

a) \(\frac{x^2 + 10x + 21}{(x + 3)} = \frac{(x + 3)(x + 7)}{(x + 3)} = x + 7\)

b) \(\frac{x^2 + 9x + 20}{(x + 4)} = \frac{(x + 4)(x + 5)}{(x + 4)} = x + 5\)

c) \(\frac{x^2 + x - 12}{(x - 3)} = \frac{(x - 3)(x + 4)}{(x - 3)} = x + 4\)

答案：a) \(x + 7\)；b) \(x + 5\)；c) \(x + 4\)
Question 4 解析

a) \(\frac{x^2 + x - 20}{x^2 + 2x - 15} = \frac{(x + 5)(x - 4)}{(x + 5)(x - 3)} = \frac{x - 4}{x - 3}\)

b) \(\frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 + 5x + 4} = \frac{(x + 1)(x + 2)}{(x + 1)(x + 4)} = \frac{x + 2}{x + 4}\)

c) \(\frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 9x + 18} = \frac{(x + 4)(x - 3)}{(x - 3)(x - 6)} = \frac{x + 4}{x - 6}\)

答案：a) \(\frac{x - 4}{x - 3}\)；b) \(\frac{x + 2}{x + 4}\)；c) \(\frac{x + 4}{x - 6}\)